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因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数

n>；N时，都有 (n>；N)，从而有 .

取，则对一切的n，都有，所以数列有界.

根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如，数列是有界的.因为，但它却是发散的(见例4).可见，数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件．

为什么收敛数列一定是有界数列

因为收敛的意思就是不断的靠近某个数，无穷大是一个不断变化的函数，它不满足 [公式] ，所以无穷大不是一个实数，是一个函数的过程。

所以如果说收敛到无穷大，那是不可能的，因为你根本不知道无穷大到底多大，他甚至都不是一个数，你根本无法确定到底收敛到哪里去，根据函数的有界性可以证明发散数列不存在一个数 [公式] ，使得 [公式] ，所以要有一个确定的实数且函数不断的逼近这实数，才能说收敛到这个实数。所以数列有界了才能收敛，而收敛数列必定有界，这个界就是数列的极限。

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